חלק א'*

איך להרוויח ולא להסתכן?

ללא ספק אם מישהו ברחוב יציע לכם להשקיע כסף בבורסה במשהו שמבטיח רווח בטוח וללא כל סיכון אתם במהירות תכניסו פנקסי צ'קים לכיס ותברחו מהאיש הזה.  רווח בטוח ללא סיכון ? בלתי-אפשרי ! מישהו רוצה להרוויח על חשבוננו...

אמנם אם תגידו כך תעשו טעות. עד כמה שזה נשמע לא מציאותי השווקים הפיננסיים מאפשרים להרוויח בלי (או כמאט בלי) סיכון. הגיע הזמן לדבר על ארביטרז'. 

אך לפני שנרחיב את הדיון על ארביטרז' נצטרך להקדיש זמן לשאלה מאוד חשובה – איך מחשבים את מחיר האופציה? זו , בעצם, השאלה העיקרית כי הרעיון המרכזי שעומד מאחורי הארביטרז' – למצוא נכס (במקרה שלנו אופציה) שמתומחר לא נכון. 

מודל  Black & Scholes

המודל הנפוץ ביותר לתמחור אופציות הוא המודל של Black & Scholes.  המודל מבוסס על מספר הנחות, כגון אין הוצאות עסקה ומסים, מותרת מכירה בחסר , אין דיווידנדים (כלומר, נכס הבסיס אינו מחלק דיווידנד) והמסחר בבורסה רציף. למרות שבפועל חלק מההנחות הללו לא מתקיים או מתקיים רק חלקית, המודל הזה הוא המודל העיקרי להערכת שווי האופציות והוא די מדויק.  ולכן בפועל משתמשים בו הרבה.

המודל טוען שמחיר אופציית CALL (CALL אירופאי) הנו:

כאשר,

S – מחיר נכס הבסיס (למשל, מחיר מדד מעו''ף),

X – מחיר המימוש של האופציה ,

T – מספר תקופות לפדיון (למשל, 24 יום),

r – ריבית חסרת סיכון (למשל, תשואת מק''מ),

e = 2.71828,

s - סטיית התקן של תשואת נכס הבסיס,

ו-N(d₁)  או  N(d₂)   - ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת עד לנקודה ₁d או  ₂d בהתאם.

המחיר של אופציית PUT לפי המודל של Black & Scholes ייחשב באופן דומה:

למרות שהנוסחה נראית "לא טוב ומפחיד" קל מאוד להשתמש בה וליישם אותה למשל ב- EXCEL. נתעלם במאמר זה מניתוח מעמיק של הנוסחה ונעבור לתכונות חשובות הנגזרות מהמודל של Black & Scholes . נציג את התכונות בהתייחס לאופציית CALL אירופאית (לגבי אופציית PUT צריך להשתמש בנוסחת מחיר PUT בהתאם).

נגדיר דלתא כנגזרת ראשונה של מחיר האופציה ביחס למחיר נכס הבסיס:

במילים פשוטות, דלתא מראה בכמה ישתנה מחיר האופציה משנוי ביחידה אחת במחיר נכס הבסיס. אם בעיתון כתוב שדלתא של אופציה שווה ל-0.75. זאת אומרת שעליית מחיר נכס הבסיס ב- 1.00 ₪ גורמת עליית מחיר אופציית CALL ב- 0.75 ₪.

נעבור לעוד מושג חשוב הנובע מנוסחת Black & Scholes . נגדיר אומגה –

שם אחר לאומגה – גמישות או מנוף לאופציה.  פירושו הדבר – עליה באחוז במחיר האופציה לכל אחוז שינוי במחיר נכס הבסיס. נניח, בידיעות אחרונות כתוב שאומגה של אופציה כלשהי שווה ל- 10. משמעותה שעליה באחוז אחד במחיר נכס הבסיס מעלה את מחיר האופציה ב-10%.

נגדיר בקצרה עוד כמה מושגים. קודם כל, נציג את התטא של האופציה:

התטא מראה בכמה ירד מחיר האופציה כעבור יום אחד בתנאי שלא חלו שינוים בפרמטרים אחרים. כלומר, מנוסחת Black & Scholes  נובע שמחיר אופציה יורד עם הזמן. כלומר, זמן שנשאר לפקיעה הוא גורם חשוב המשפיע על מחיר האופציה. מזה נובעות שתי מסקנות חשובות:

1)                               אם לא יהיו שינוים דרסטיים במחיר נכס הבסיס קונה האופציה המחזיק אותה זמן ממושך עלול לאבד חלק מההשקעה רק מהעובדה שערך האופציה יורד עם הזמן.

2)                               מהצד השני – מי שכתב אופציה בהתחלה יכול לקנות אותה האופציה (כדי לסגור פוזיציה) בסוף התקופה ולשלם עבורה פחות מאשר הוא קיבל בהתחלה, כלומר להרוויח (בהנחה שבמשך התקופה מחיר נכס הבסיס היה יציב יחסית).

 בנוסף, נציג גם את הווגה שמשמעותה – אם סטיית התקן של תשואת נכס הבסיס עולה ב-1 בכמה עולה מחיר האופציה.

נשים לב על נקודה חשובה. יש קשר בין מחיר אופציה לבין סטיית התקן. והקשר הזה הפוך! סטיית התקן מודדת את הפיזור סביב הממוצע או במילים יותר פשוטות במקרה של תשואת מדד מעו''ף - סטיית התקן משקפת את התנודתיות של התשואה או במילים עוד יותר פשוטות סטיית התקן מראה את הסיכון. אז רואים שככל שהסיכון גדול יותר, מחיר האופציה עולה! נתרגם את זה למציאות – ככל שאי הודאות (תנודתיות) בשוק גדולה יותר גם מחירי האופציות גדולים יותר.

דלתא אפס (דלתא ניוטרל)

המושגים שהוצגו מהווים אינדיקטורים מאוד שימושים לניתוח אופציות ובחירת אסטרטגית השקעה אופטימלית. אבל האינדיקטור העיקרי הוא דלתא. נזכיר שדלתא מראה בכמה ישתנה מחיר של אופציה עם שנוי במחיר של נכס הבסיס ביחידה אחת. למעשה, אחד מהסיכונים העיקריים בהשקעה באופציות הוא שנוי במחיר נכס הבסיס. אופציה היא מכשיר פיננסי מאוד תנודתי ולכן שנוי קטן במחיר נכס הבסיס גורר שינוים מאוד משמעותיים במחיר האופציה.

נזכיר שיש שני סוגים של אופציות – CALL ו- PUT. הן בעלות תכונות הפוכות – כאשר נכס הבסיס עולה מחיר אופציית CALL עולה ואילו מחיר אופציית PUT יורד. כאשר מחיר נכס הבסיס יורד – מחיר ה- PUT עולה ו מחיר ה-CALL יורד. כלומר, PUT ו-CALL זזים בכיוונים שונים.

אפשר להרכיב תיק אופציות שלא יהיה רגיש כלל לשינויי במחיר נכס הבסיס! כלומר, צריך לבחור במספר אופציות PUT ו-CALL כך סכום הדלתאות שלהם יהיה שווה בדיוק לאפס ואז נקבל תיק אופציות שלא רגיש לשנויים במחיר נכס הבסיס. זאת אומרת, אם מחיר נכס הבסיס ירד, אז גם מחירי האופציות בתיק משתנים אבל סך הערך של התיק (כלומר, סכום המחירים של כל האופציות בתיק )  לא משתנה. מחירי אופציות PUT עולים ומחירי אופציות CALL יורדים אך כל השנויים בתוך התיק מתקזזים וערך התיק לא משתנה. לתיק כזה קוראים תיק עם דלתא אפס או דלתא ניוטרל.

כדי להמחיש את הרעיון ניקח דוגמא. נפתח נספח כלכלי של עיתון (למשל, מעריב) ונסתכל בטבלת האופציות על מדד מעו''ף . אחת מהעמודות מציגה דלתאות לאופציות. אז נחפש בעמודה זו שני מספרים שסכומם אפס. לצורך הדוגמא, בחרנו  ב- Call(380)  ו-Put(430). הדלתא של ה- CALL הנה 83+, והדלתא של ה-PUT הנה 83-. כלומר, סכום של הדלתאות הוא אפס. המדד (מדד מעו''ף) באותו יום  הסתכם ב-401. מחירן של ה- PUT ושל ה-CALL היו 2916₪ ו-2520 ₪ בהתאם. ולכן, ערך התיק המורכב מ-2 האופציות הללו - 5436 ₪.

לצורך המחשה נשתמש בנוסחת Black & Scholes כדי לחשב את המחירים החדשים של האופציות אחרי שנוי במדד מעו''ף (נכס הבסיס).  "נעלה" את המדד ב-1 ₪. מחיר אופציית CALL עולה ומחיר אופציית PUT יורד. אבל (וזו נקודה חשובה!), כיוון שבחרנו ב-2 אופציות עם דלתאות שוות בערך מוחלת אך שונות בסימן - עליית מחיר ה- CALL וירידת מחיר ה-PUT חייבים להתקזז. באמת, קיבלנו שאופציית CALL עולה 2603 ₪ (עלתה ב-83 ₪) ואופציית PUT עולה  2833 ₪ (ירדה  ב-83 ₪). אמנם מחיר התיק (סכום מחירי האופציות) נשאר ללא שנוי – 5436 ₪!

בוא ניקח עוד דוגמא והפעם נגדיל את מספר האופציות. נשתמש בכלל שדלתא של התיק שווה לסכום הדלתאות של האופציות בתיק. ניקח Put(380) - מחירו  236  ₪ ודלתא 16- ,  Put(410) – מחירו 1398 ₪ והדלתא 58- וגם Call(390) שעולה 1811 ₪ בעל דלתא 74. קל לראות שהדלתא של התיק מסתכמת ב-0, ולכן ערך התיק לא ישתנה עם שנויים בנכס הבסיס. נניח שהמדד עלה ב-1. כתוצאה מכך מחירי אופציות Put(380) ו Put(410) ירדו והסתכמו ב- 220 ₪ ו-1340 ₪ בהתאם ומחיר אופציית CALL עלה עד 1885 ₪. מה שחשוב – שוב רואים שערך התיק נשאר ללא שינוי – 3445 ₪!

קיבלנו תוצאה מגניבה! יש לנו תיק השומר על ערך כל הזמן ללא תלות במצב השוק! אבל המציאות היא יותר קשה ויותר מסובכת. מסתבר, שהתכונה של דלתא אפס מתקיימת רק כאשר יש שינוים קטנים בנכס הבסיס ובתנאי ששאר הפרמטרים לא משתנים (ממש לא מציאותי כי זמן לפקיעה, למשל, משתנה עם כל יום שחלף!).  בנוסף, התיאוריה מתעלמת מקיום מסים, עמלות וכל מיני פקטורים אחרים שקיימים בשוק. עצוב?!

אבל good news – אפילו כאשר שאר הפרמטרים לא קבועים וההנחות התיאורטיות לא מתקיימות דלתא אפס עדיין עובדת ונותנת תוצאה (קירוב) טוב מאוד . ולכן, למרות כל ההגבלות וההסתייגויות משתמשים בדלתא בשוק.

נציג עוד דוגמא – הפעם ניקח נתונים אמיתיים. נבחר בתיק הכולל  2 אופציות בלבד: אופציית Call (370) הפוקעת בדצמבר 2001 ואופציית Put (470) הפוקעת בינואר 2002. כפי שניתן לראות מהטבלה הדלתא  של התיק שונה מאפס. זה מציאותי כי לפעמים מסיבה טכנית אי-אפשר למצוא אופציות שסכום הדלתאות שלהם יהיה בדיוק אפס. לכן, נסתפק בקירוב – במקרה שלנו דלתא התיק שווה אחד. ביום קניית התיק, מחיר נכס הבסיס (מדד מעו''ף) היה 404.52 ומחירי האופציות היו 3805 ₪ עבור ה-CALL ו-5816 ₪ עבור ה-PUT. ביום הבא מחיר נכס הבסיס ירד ב-0.73% עד לרמה 401.51 (שמהווה ירידה ב-3.01 נקודות בסיס). כפי שציפינו מחיר אופציית CALL ירד , לעומת זאת מחיר אופציית PUT עלה. לפי מודל Black & Scholes  היינו מצפים לראות שמחיר ה-CALL ירד ב-3 (מחיר ירד ב-3 שקלים) כפול 92 (הדלתא), כלומר ב-276 ₪. בפועל המחיר ירד ב-311 ₪. אותו דבר לגבי ה-PUT – במקום עלייה ב-279 ₪ (לפי המודל) מחירו עלה ב-377 ₪. אבל  החשוב ביותר הוא שערך התיק עלה רק ב-66 ₪!!! כלומר, למרות שמחירי האופציות בתוך התיק השתנו בשיעור מ-5% ועד 10%, ערך התיק השתנה רק ב-0.68%! לא רע! 

נסכם את הדוגמא - אפילו אם לא מצליחים להרכיב תיק עם דלתא בדיוק אפס ולמרות שרוב הנחות המודל לא מתקיימות – המודל עדיין מתקיים! הקירוב נותן תוצאות מאוד טובות! מהדוגמא נובעת מסקנה – בפועל ניתן להרכיב תיקים בעלי דלתא אפס – כלומר, לא רגישים לשינוים (לא גדולים) במחיר נכס הבסיס.

בחלק השני של המאמר נדון ביישום של התכונה החביבה הזו בעסקות ארביטרז'.

17/02/2002

* אין לראות במאמר הנ''ל המלצה או יעוץ להשקעה כלשהי בשווקים פיננסים.